Trigonometrie

Tri|go|no|me|trie auch: Tri|go|no|met|rie 〈f. 19; unz.〉 Dreiecksberechnung, -messung ● darstellende \Trigonometrie zeichner. Darstellung von Dreiecken; ebene \Trigonometrie Berechnung, Messung u. Darstellung von Dreiecken in der Ebene; sphärische \Trigonometrie Berechnung, Messung u. Darstellung von Dreiecken in einem Raum [<Trigon + grch. metron „Maß“]

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Tri|go|no|me|t|rie, die; - ↑ [trigonal u. ↑ -metrie]:

Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Berechnung von Dreiecken unter Benutzung der trigonometrischen Funktionen befasst.

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I

Trigonometrie

 

[zu griechisch trígōnon »Dreieck«] die, -, ein Zweig der Mathematik, der die Berechnung der Winkel und Seiten sowie daraus ableitbarer Größen ebener Dreiecke in der ebenen Trigonometrie und sphärischer Dreiecke im Rahmen der sphärischen Trigonometrie behandelt. Die Berechnung eines ebenen rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b, der Hypotenuse c und den gegenüberliegenden Winkeln α, β, γ ist möglich mithilfe des pythagoreischen Lehrsatzes a² + b² = c², der Winkelsumme α + β = 90º sowie Beziehungen, die sich aus den elementarmathematischen Definitionen der Winkelfunktionen im Einheitskreis ergeben. Dazu müssen neben dem rechten Winkel nur zwei weitere Bestimmungsstücke, hierunter mindestens eine Seite, bekannt sein. Zur Berechnung des allgemeinen ebenen Dreiecks sind drei Größen notwendig, die Berechnung erfolgt durch Aufteilung in zwei rechtwinklige Dreiecke oder mit dem Sinussatz, dem Kosinussatz, dem Tangenssatz und den sich daraus ableitenden Halbwinkelsätzen der ebenen Trigonometrie. Die Trigonometrie war seit ihren historischen Anfängen mit praktischen Problemen verknüpft und findet heute Anwendung in der Astronomie, Geodäsie, Geographie, Kartographie, Navigation und Physik.

 

Geschichte:

 

Angeregt durch praktische Konstruktionsprobleme sowie geographische und astronomische Beobachtungen, wurde in der griechischen Mathematik die Größe eines Bogens über die Längen zugehöriger Sehnen bestimmt. Erste trigonometrische Beziehungen entdeckten u. a. die Inder; sie verwendeten zur Bogenberechnung etwa seit dem 5. Jahrhundert die später als Sinus bezeichnete Halbsehne und kannten auch den Kosinus und trigonometrische Beziehungen des rechtwinkligen Dreiecks. Die Erkenntnisse der Griechen und Inder wurden von den Arabern übernommen und weiterentwickelt; sie berechneten Sinus-, Tangens- und Kotangensfunktionen und wendeten den Sinussatz an. Ab dem 12. Jahrhundert wurde das trigonometrische Wissen im Abendland bekannt und fand besonders durch die erste systematische Darstellung von Regiomontanus Verbreitung (»De triangulis omnimodis«, herausgegeben 1533). Die inneren Zusammenhänge der Trigonometrie beschrieb L. Euler.

 

II

Trigonometrie

 

[zu griech. trigonon »Dreieck«] die, die Lehre von den Beziehungen zwischen den Winkeln und den Seiten in Dreiecken. Die wichtigsten Erkenntnisse folgen aus der Betrachtung von rechtwinkligen Dreiecken, deren längste und dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite die Länge 1 aufweist. Greift man an einem solchen Dreieck einen der beiden anderen Winkel heraus, so wird die Länge der diesem Winkel gegenüberliegenden Seite als Sinus dieses Winkels bezeichnet, die dem Winkel anliegende (aber nicht die dem rechten Winkel gegenüberliegende) als Kosinus des Winkels. Darüber hinaus ist als Quotient von Sinus und Kosinus des gleichen Winkels der Tangens dieses Winkels von Bedeutung.

 

Die eindeutigen Zuordnungen von Sinus, Kosinus und Tangens zu allen Winkelwerten eines vorgegebenen Winkelbereichs heißen Winkelfunktionen.

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Tri|go|no|me|trie, die; - [↑-metrie]: Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Berechnung von Dreiecken unter Benutzung der trigonometrischen Funktionen befasst.